Разбор задачи

Для функции запишите формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано (привести пять первых ненулевых членов).

Условие:

Для функции $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$ запишите формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано (привести пять первых ненулевых членов).

Шаг 1: Дано

Мы имеем функцию

f(x) = \frac{x}{1+x^2}.

Нам нужно найти формулу Маклорена для этой функции с остаточным членом в форме Пеано и привести пять первых ненулевых членов.

Шаг 2: Найти производные функции

Сначала найдем производные функции в точке $x = 0$ .

f(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0.

Используем правило частного:

f'(x) = \frac{(1+x^2)(1) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}.

Теперь подставим $x = 0$ :

f'(0) = \frac{1 - 0^2}{(1+0^2)^2} = 1.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов является наиболее эффективным для нахождения разложения функции $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ в ряд Маклорена?

Последовательное вычисление производных функции в точке $x=0$ и подстановка их в общую формулу ряда Маклорена.

Использование известного разложения для $\frac{1}{1-u}$ и подстановка $u = -x^2$ , а затем умножение на $x$ .

Применение интегрирования по частям для нахождения коэффициентов ряда.