Для функционала найти решения уравнения Эйлера (экстремали), удовлетворяющие условиям на границах.

Для нахождения экстремалей функционала $v[y(x)] = \int_{0}^{1} y y^{\prime 2} \, dx$ мы воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа.

1. Запишем функционал и его производные. Функционал имеет вид:

   $$v[y(x)] = \int_{0}^{1} F(y, y', x) \, dx,$$
   где $F(y, y', x) = y (y')^2$.

2. Найдем частные производные.

   • $F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = (y')^2$
   • $F_{y'} = \frac{\partial F}{\partial y'} = 2y y'$

3. Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа. Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид:

   $$\frac{d}{dx} \left( F_{y'} \right) - F_y = 0.$$
   По...