Для заданного линейного дифференциального уравнения второго порядка в частных производных 1. определите тип уравнения; 2. выполните приведение уравнения к канонической форме; 3. найдите общее решение дифференциального уравнения. $x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-x^{2} \frac{\partial u}{\partial y}-x y \frac{\partial u}{\partial y}=0$.
Ниже приводится подробное решении задачи с пояснениями.
Допустим, дано уравнение
x²·uₓₓ + 2x y·uₓᵧ + y²·uᵧᵧ – x²·uᵧ – x y·uᵧ = 0.
Шаг 1. Определим тип уравнения.
Для линейного уравнения второго порядка в частных производных с главной частью a(x,y)·uₓₓ + 2b(x,y)·uₓᵧ + c(x,y)·uᵧᵧ, определяющим тип является дискриминант D = b² – a·c.
В нашем случае коэффициенты при вторых производных равны: a = x², 2b = 2xy ⇒ b = x y, c = y².
Таким образом, D = (x y)² – (x²)(y²) = x²y² – x²y² = 0.
Так как D = 0, уравнение называют параболическим.
--------------------------------------------------...
Не нашел нужную задачу?