Для заданной поверхности найти точку (точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в найденной точке (точках).

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальная геометрия

Для заданной поверхности найти точку (точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в найденной точке (точках).

Условие:

Для заданной поверхности $F(x ; y ; z)=0(z=f(x ; y))$ найти точку (точки), в которых касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости $A x+B y+C z+D=0$ Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в найденной точке (точках).

\begin{array}{|c|l|l|} \hline Вариант & Уравнение поверхности & Уравнение плоскости \\ \hline 1 & $4+x+y^{2}=\ln z$ & $x+2 y-z=0$ \\ \hline \end{array}

Решение:

Рассмотрим поверхность, заданную уравнением
4 + x + y² = ln z.
Перепишем её в виде F(x, y, z) = 4 + x + y² – ln z =
0.

Найдем точку на поверхности, в которой касательная плоскость параллельна плоскости, заданной уравнением
x + 2y – z =
0.

Для поверхности F(x, y, z) = 0 в точке (x₀, y₀, z₀) нормаль к поверхности определяется градиентом ∇F = (Fₓ, Fᵧ, F_z). Вычислим частные производные:
Fₓ = 1,
Fᵧ = 2y,
F_z = –1/z.
Нормаль касательной плоскости в точке есть вектор ∇F(x₀, y₀, z₀) = (1, 2...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно быть выполнено для того, чтобы касательная плоскость к поверхности F(x, y, z) = 0 была параллельна заданной плоскости Ax + By + Cz + D = 0?

Вектор нормали касательной плоскости должен быть перпендикулярен вектору нормали заданной плоскости.

Градиент функции F в точке касания должен быть коллинеарен вектору нормали заданной плоскости.

Градиент функции F в точке касания должен быть равен нулю.