Доказать, что если и - ограниченные последовательности и некоторые числа, то - ограниченная последовательность.

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Доказать, что если и - ограниченные последовательности и некоторые числа, то - ограниченная последовательность.

Условие:

Доказать, что если $\left\{x_{n}\right\}$ и $\left\{y_{n}\right\}$ - ограниченные последовательности и $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

некоторые числа, то $\left\{\alpha x_{n}+\beta y_{n}\right\}$ - ограниченная последовательность.

Решение:

Рассмотрим две заданные ограниченные последовательности {xₙ} и {yₙ}. Поскольку последовательности ограниченные, существует два положительных числа M₁ и M₂, такие что для любого натурального n выполняется неравенство: |xₙ| ≤ M₁ и |yₙ| ≤ M₂.

Наша цель – доказать, что последовательность {αxₙ + βyₙ} т...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство ограниченных последовательностей используется в доказательстве того, что линейная комбинация двух ограниченных последовательностей также является ограниченной последовательностью?

Свойство сходимости последовательностей.

Свойство линейности предела последовательности.

Свойство ограниченности суммы и произведения ограниченных последовательностей.