Главная
Библиотека
Высшая математика
Доказать, что если уравнением f(x−az;y−bz)=0, где a,b∈R; f(u,v) - дифференцируемая функция, определяется дифференцируемая...

Доказать, что если уравнением f(x−az;y−bz)=0, где a,b∈R; f(u,v) - дифференцируемая функция, определяется дифференцируемая функция z(x,y), то она удовлетворяет уравнению a(∂z/∂x)+b(∂z/∂y)=1.

«Доказать, что если уравнением f(x−az;y−bz)=0, где a,b∈R; f(u,v) - дифференцируемая функция, определяется дифференцируемая функция z(x,y), то она удовлетворяет уравнению a(∂z/∂x)+b(∂z/∂y)=1.»

6 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

1. Доказать, что если уравнением
f(x−az;y−bz)=0,

где a,b∈R
; f(u,v)
- дифференцируемая функция,
определяется дифференцируемая функция z(x,y)
, то она удовлетворяет уравнению
a(∂z/∂x)+b(∂z/∂y)=1.

Решение:

Рассмотрим уравнение f(x – a·z, y – b·z) = 0, где функция f(u, v) дифференцируема, а u = x – a·z, v = y – b·z. Нам необходимо показать, что если это уравнение задаёт дифференцируемую функцию z = z(x, y), то выполняется равенство a·(∂z/∂x) + b·(∂z/∂y) = 1. Шаг 1. Запишем зависимости u = x – a·z(x, y) и v = y – b·z(x, y). Подставляем их в уравнение: f(u, v) = 0. Шаг 2. Продифференцируем полученное уравнение по x (предполагаем, что z = z(x, y) дифференцируема). Применим правило цепочки. Имеем: ...