Доказать, что любой линейный оператор A на унитарном пространстве однозначно представим в виде A = B + iC, где B и C — самосопряженные операторы.

Рассмотрим произвольный линейный оператор A на унитарном пространстве. Необходимо доказать, что его можно единственным образом представить в виде A = B + iC, где операторы B и C являются самосопряжёнными. Шаг 1. Построим операторы B и C по формулам   B = (A + A*)/2   C = (A – A*)/(2i) Здесь A* – сопряжённый (адъюнктный) оператор к A, а i – мнимая единица. Шаг 2. Докажем, что оператор B самосопряжённый. Вычислим его сопряжённый:   B* = ((A + A*)/2)* = (A* + (A*)*)/2 = (A* + A)/2 = B Таким образом, B = B*, что означает, что B самосо...