Доказать, что оператор А является линейным оператором в пространстве Рn многочленов степени не выше n. Найти матрицу оператора А в каноническом базисе Рn Существует ли обратный оператор А^-1 ? Если да, найти его матрицу. Найти образ, ядро, ранг и дефект

Дано

Пространство $P_n$ многочленов степени не выше $n$. В нашем случае $n=3$, то есть пространство $P_3$. Оператор $A$:

Найти

1. Доказать линейность оператора $A$.
2. Найти матрицу оператора $A$ в каноническом базисе $P_3$.
3. Определить существование обратного оператора $A^{-1}$ и найти его матрицу, если он существует.
4. Найти образ $\text{Im}(A)$, ядро $\text{Ker}(A)$, ранг $\text{rank}(A)$ и дефект $\text{def}(A)$ оператора $A$.

Решение

1. Доказательство линейности оператора $A$

Оператор $A: P_n \rightarrow P_n$ явл...