Доказать, что векторное поле потенциально, найти его потенциал. Выяснить, является ли поле соленоидальным.

Чтобы доказать, что векторное поле $\vec{a}=\left(\frac{z}{x}\right) \vec{i}+\left(\frac{z}{y}\right) \vec{j}+(\ln (x y)+2 z) \vec{k}$ является потенциальным, необходимо проверить, существует ли скалярный потенциал $\phi$, такой что $\vec{a} = \nabla \phi$.

1. Проверка условий для потенциальности: Для векторного поля $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ потенциальность означает, что его ротор равен нулю:
   $$\nabla \times \vec{a} = 0.$$
   Вычислим ротор: $ \nabla \times \vec{a} =

\nabla \times \vec{a} = \vec{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(\ln(xy) + 2z) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{y}\right) \right) - \vec{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(\ln(xy) + 2z) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{x}\right) \right) + \vec{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{z}{y}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{z}{x}\right) \right). $...