Докажите, что произведение бесконечно малой при функции и ограниченной на всей числовой оси функции (обе определены в некоторой окрестности ) является бесконечно малой при функцией.

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Докажите, что произведение бесконечно малой при функции и ограниченной на всей числовой оси функции (обе определены в некоторой окрестности ) является бесконечно малой при функцией.

Условие:

Докажите, что произведение бесконечно малой при $x \rightarrow+\infty$ функции $f(x)$ и ограниченной на всей числовой оси функции $g(x)$ (обе определены в некоторой окрестности $+\infty$ ) является бесконечно малой при $x \rightarrow+\infty$ функцией.

Решение:

Для доказательства утверждения, что произведение бесконечно малой функции $f(x)$ и ограниченной функции $g(x)$ является бесконечно малой функцией при $x \rightarrow +\infty$ , будем следовать следующим шагам.

Определение бесконечно малой функции: Функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x \rightarrow +\infty$ , если для любого положительного числа $\epsilon$ существует такое число $M$ , что для всех $x > M$ выполняется $|f(x)| < \epsilon$ .
Определение ограниченной функции: Функция $g(x)$ н...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство функции $g(x)$ является ключевым для доказательства того, что произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой?

Её непрерывность в окрестности (+\infty).

Её ограниченность, то есть существование константы (C) такой, что (|g(x)| \leq C) для всех (x).

Её монотонность в окрестности (+\infty).