Докажите, что среди векторов , лежащих соответственно в пространствах , тогда и только тогда есть нулевой вектор, когда все полилинейные отображения во все пространства зануляются на наборе аргументов .

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия
#Теория функциональных пространств

Докажите, что среди векторов , лежащих соответственно в пространствах , тогда и только тогда есть нулевой вектор, когда все полилинейные отображения во все пространства зануляются на наборе аргументов .

Условие:

Докажите, что среди векторов $v_{1}, \ldots, v_{n}$ , лежащих соответственно в пространствах $V_{1}, \ldots, V_{n}$ , тогда и только тогда есть нулевой вектор, когда все полилинейные отображения $V_{1} \times \cdots \times V_{n} \rightarrow W$ во все пространства $W$ зануляются на наборе аргументов $\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ .

Решение:

Мы докажем, что набор векторов v₁ ∈ V₁, …, vₙ ∈ Vₙ содержит нулевой вектор (то есть, хотя бы один из них равен 0) тогда и только тогда, когда для любого полилинейного отображения

f : V₁ × … × Vₙ → W (для любого векторного пространства W)

выполняется равенство

f(v₁, …, vₙ) =
0.

Ниже приводится подробное доказательство «в обе стороны»:

─────────────────────────────

Необходимость: Если один из векторов равен 0, то все полилинейные отображения зануляются на наборе (v₁, …, vₙ).

Предположим, что дл...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство полилинейных отображений используется для доказательства того, что если один из векторов в наборе является нулевым, то любое полилинейное отображение зануляется на этом наборе?

Полилинейное отображение является инъективным.

Полилинейное отображение является линейным по каждому аргументу.

Полилинейное отображение сохраняет скалярное произведение.