Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в

24 октября 2025
Высшая математика

Условие:

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней.
Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 20.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задание №3 (21)

Для игры, описанной в задании, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение:

Для решения задачи, давайте проанализируем условия игры и возможные стратегии. 1. Определение выигрышных и проигрышных позиций: - Позиция считается выигрышной для игрока, если он может сделать ход, который приведет к проигрышной позиции для противника. - Позиция считается проигрышной, если любой возможный ход приводит к выигрышной позиции для противника. 2. Конечные позиции: - Если в куче 19 или меньше камней, игрок, который делает ход, выигрывает. Это значит, что позиции 19, 18, 17, ..., 0 — это выигрышные позиции. 3. Анализ позиций от 20 и выше: - Начнем с 20 камней: - Петя может убр...