Разбор задачи

Функция , удовлетворяющая условию задана параметрическими уравнениями Значение равно

Условие:

Функция $f(x)$ , удовлетворяющая условию $f(0)=1$ задана параметрическими уравнениями $ \left{

\begin{array}{l}\nx=\sin 2 t \\ y=e^{-t-\pi} \cos 4 t \end{array}

Значение $f^{\prime}(0)$ равно

Шаг 1: Дано

У нас есть параметрические уравнения:

\begin{cases}\nx = \sin(2t) \\ y = e^{-t-\pi} \cos(4t) \end{cases}

Также известно, что $f(0) = 1$ .

Шаг 2: Найти

Нам нужно найти значение производной $f'(0)$ .

Шаг 3: Решение

Сначала найдем связь между $x$ и $y$ через параметр $t$ . Для этого выразим $t$ через $x$ :

\nx = \sin(2t) \implies t = \frac{1}{2} \arcsin(x)

Теперь подставим это значение $t$ в уравнение для $y$ :

\ny = e^{-\frac{1}{2} \arcsin(x) - \pi} \cos(4 \cdot \frac{1}{2} \arcsin(x)) = e^{-\frac{1}{2} \arcsin(x) - \pi} \cos(2 \arcsin(x))

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов является наиболее подходящим для нахождения производной функции $f(x)$ в заданной точке, если функция задана параметрически?

Выразить $t$ через $x$ , подставить в $y$ , а затем найти производную $y$ по $x$ и подставить значение $x$ .

Найти производные $dx/dt$ и $dy/dt$ , затем использовать формулу $dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)$ и подставить значение $t$ , соответствующее $x=0$ .

Выразить $t$ через $y$ , подставить в $x$ , а затем найти производную $x$ по $y$ и взять обратное значение.

Не нашел нужную задачу?