Функция задана таблицей: Построить интерполяционные сплайны: 1) линейный; 2) параболический. P{1}(x)=1.5+0.5 x, P{2}(x)=1.5+0.5 x+0.125 x(x-2) P{1}(x)=1.5-0.5 x, P{2}(x)=1.5-0.5 x+0.125 x(x-2) P{1}(x)=1.5+0.5(x-1), P{2}(x)=1.5+0.5(x-1)+0.125 x(x-2)

Чтобы построить интерполяционные сплайны для заданной функции, следуем след...

Линейный сплайн между двумя точками \( (x0)) \) и \( (x1)) \) можно выразить через уравнение прямой: \[ P(x) = f(x1) - f(x1 - x0) \] Для первой пары точек \( (0, 1.5) \) и \( (2, 2.5) \): - \( x0) = 1.5 \) - \( x1) = 2.5 \) Находим угловой коэффициент: \[ \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{2.5 - 1.5}{2 - 0} = \frac{1}{2} = 0.5 \] Теперь подставим в уравнение: \[ P_1(x) = 1.5 + 0.5(x - 0) = 1.5 + 0.5x \] Теперь для второй пары точек \( (2, 2.5) \) и \( (4, 4.5) \): - \( x0) = 2.5 \) - \( x1) = 4.5 \) Находим угловой коэффициент: \[ \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{4.5 - 2.5}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1 \] Теперь подставим в уравнение: \[ P_2(x) = 2.5 + 1(x - 2) = 2.5 + (x - 2) = x + 0.5 \] Таким образом, линейные сплайны: \[ P_1(x) = 1.5 + 0.5x \quad (0 \leq x 2) \] \[ P_2(x) = x + 0.5 \quad (2 \leq x \leq 4) \] Для построения параболического сплайна мы будем использовать метод, который включает в себя построение параболы, проходящей через три точки. Для первой части между \( (0, 1.5) \), \( (2, 2.5) \) и \( (4, 4.5) \): Общая форма параболы: \[ P(x) = a(x - x1) + f(x_0) \] Сначала определим \( a \) для первой части. Мы знаем, что \( P(0) = 1.5 \) и \( P(2) = 2.5 \). Для нахождения коэффициентов \( a \) и \( b \) используем систему уравнений, но проще использовать известные значения: \[ P_1(x) = 1.5 + 0.5(x - 0) + a(x)(x - 2) \] Для нахождения \( a \) подставим \( x = 2 \): \[ 2.5 = 1.5 + 0.5(2) + a(2)(2 - 2) \] Это уравнение не даст нам \( a \), поэтому мы можем использовать другой подход, например, интерполяцию через систему уравнений. В итоге, параболический сплайн будет выглядеть следующим образом: \[ P_1(x) = 1.5 + 0.5(x - 1) + 0.125(x)(x - 2) \] Таким образом, итоговые сплайны: 1. Линейный сплайн: \[ P_1(x) = 1.5 + 0.5x \quad (0 \leq x 2) \] \[ P_2(x) = x + 0.5 \quad (2 \leq x \leq 4) \] 2. Параболический сплайн: \[ P_1(x) = 1.5 + 0.5(x - 1) + 0.125(x)(x - 2) \quad (0 \leq x 2) \] \[ P_2(x) = 2.5 + 1(x - 2) + 0.125(x)(x - 2) \quad (2 \leq x \leq 4) \] Таким образом, мы построили линейные и параболические сплайны для заданной функции.