Интегрирование выражений вида R(sin x, cos x)dx 28sin(2x)6cos(2x)2 в пределах от пи/2 до пи

Для решения интеграла $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2^8 \sin^6(2x) \cos^2(2x) \, dx$ мы можем использовать подстановку и некоторые тригонометрические идентичности.

1. Подстановка: Начнем с подстановки $u = 2x$. Тогда $du = 2 \, dx$, что означает $dx = \frac{du}{2}$. Также изменим пределы интегрирования:

   • Когда $x = \frac{\pi}{2}$, $u = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.
   • Когда $x = \pi$, $u = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

   Таким образом, наш интеграл становится: $ \int{\pi}^{2\pi} 2^8 \sin^6(u) \cos^2(u) \cdot \frac{du}{2} = 2^7 \int{\pi}^{2\pi} \sin^6(u) \co...