Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля по контуру, образованному линиями , и , при положительном направлении обхода.

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля по контуру, образованному линиями , и , при положительном направлении обхода.

Условие:

Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля $\vec{A}(x,y)=xy\vec{i}-y\vec{j}$ по контуру, образованному линиями $L_{1}: x^{2}-y^{2}=1$ , $L_{2}: y=0$ и $L_{3}: y=\frac{3}{5} x, x \geq 0$ , при положительном направлении обхода.

Решение:

Мы хотим вычислить циркуляцию векторного поля
A(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) = (xy, –y)
по замкнутому контуру C, который образован тремя кривыми:
L₁: x² – y² = 1 (правый лист гиперболы, y ≥ 0),
L₂: y = 0,
L₃: y = (3/5)x, x ≥ 0,
при положительном (против часовой стрелки) обходе.

Пошаговое решение:

─────────────────────────────
1. Применим формулу Грина

Формула Грина гласит для циркуляции:
∮₍С₎ (P dx + Q dy) = ∬₍D₎ (∂Q/∂x – ∂P/∂y) dA,
где D – область, ограниченная кривой C.

────────...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно применения формулы Грина для вычисления циркуляции векторного поля $\vec{A}(x,y)=xy\vec{i}-y\vec{j}$ по заданному замкнутому контуру?

Формула Грина не применима, так как контур не является простой замкнутой кривой.

Подынтегральное выражение для двойного интеграла в формуле Грина равно $-x$ .

Область интегрирования $D$ всегда является прямоугольной, что упрощает вычисления.