Используя принцип сжимающих отображений доказать что последовательность цепных дробей является сходящейся и найти её предел.

Для доказательства сходимости последовательности цепных дробей $\{x_n\}$ с помощью принципа сжимающих отображений, начнем с определения данной последовательности.

Цепные дроби задаются следующим образом:

• $x_1 = 2$
• $x_2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
• $x_3 = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = 2 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$
• $x_4 = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}$

Мы можем заметить, что последовательность задается рекурсивно: $x_{n+1} = 2 + \frac{1}{x_n}$.

Теперь мы можем использовать принцип сжимающих отображений. Для этог...