Используя соответствующее разложение подынтегральной функции, вычислить значение интеграла с точностью .

Для вычисления интеграла $\int_{0,3}^{0,6} \sqrt[3]{1+x^{2}} d x$ с заданной точностью $\varepsilon=10^{-3}$ воспользуемся разложением подынтегральной функции в ряд Тейлора.

1. Найдем разложение функции $\sqrt[3]{1+x^2}$: Функция $f(x) = \sqrt[3]{1+x^2}$ может быть разложена в ряд Тейлора около точки $x=0$. Для этого найдем производные функции.

   • $f(0) = \sqrt[3]{1+0^2} = 1$
   • Первая производная: $f'(x) = \frac{2}{3} (1+x^2)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{4x}{3(1+x^2)^{2/3}}$ $f'(0) = 0$
   • Вторая производная: $f''(x) = \frac{4(1+x^2)^{2/3} \cdot 3(1+x^2)^{1/3} - 4x \cdot \frac{4x}{3(1+x^2)^{5/3}}}{(1+x^2)^{4/3}}$...