Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график. y=x+4/(x+2).

Для исследования функции \( y = x + \frac{4}{x + 2} \) с помощью методов дифференциального исчисления, начнем...

Функция состоит из двух частей: линейной функции \( x \) и дробной функции \( \frac{4}{x + 2} \). Мы можем использовать правило производной для суммы и правило производной для дроби. 1. Производная от \( x \) равна 1. 2. Для нахождения производной от \( \frac{4}{x + 2} \) используем правило производной для дроби: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x + 2}\right) = \frac{0 \cdot (x + 2) - 4 \cdot 1}{(x + 2)^2} = -\frac{4}{(x + 2)^2} \] Теперь можем записать полную производную функции: \[ y = 1 - \frac{4}{(x + 2)^2} \] Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем, когда \( y = 0 \): \[ 1 - \frac{4}{(x + 2)^2} = 0 \] Решим это уравнение: \[ \frac{4}{(x + 2)^2} = 1 \] Умножим обе стороны на \( (x + 2)^2 \): \[ 4 = (x + 2)^2 \] Теперь извлечем квадратный корень: \[ x + 2 = \pm 2 \] Это дает нам два решения: 1. \( x + 2 = 2 \) → \( x = 0 \) 2. \( x + 2 = -2 \) → \( x = -4 \) Таким образом, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -4 \). Теперь исследуем знак производной на интервалах, определяемых критическими точками: 1. Интервал \( (-\infty, -4) \) 2. Интервал \( (-4, 0) \) 3. Интервал \( (0, +\infty) \) - Для \( x -4 \) (например, \( x = -5 \)): \[ y = 1 - \frac{4}{(-5 + 2)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} 0 \] - Для \( -4 x 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ y = 1 - \frac{4}{(-1 + 2)^2} = 1 - 4 = -3 0 \] - Для \( x 0 \) (например, \( x = 1 \)): \[ y = 1 - \frac{4}{(1 + 2)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} 0 \] - В точке \( x = -4 \) производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это максимум. - В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это минимум. Теперь найдем значения функции в критических точках: 1. \( y(-4) = -4 + \frac{4}{-4 + 2} = -4 - 2 = -6 \) 2. \( y(0) = 0 + \frac{4}{0 + 2} = 0 + 2 = 2 \) Теперь мы можем построить график функции. У нас есть: - Максимум в точке \( (-4, -6) \) - Минимум в точке \( (0, 2) \) График функции будет выглядеть следующим образом: 1. Убывает на интервале \( (-4, 0) \). 2. Возрастает на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (0, +\infty) \). Функция \( y = x + \frac{4}{x + 2} \) имеет максимум в точке \( (-4, -6) \) и минимум в точке \( (0, 2) \). График функции будет иметь характерный вид с одной вершиной (максимум) и одной впадиной (минимум).