Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы возрастания и убывания, схематически построить график функции: y=2x3-6x2-12x-1 — задача №363467

Чтобы исследовать функцию $y = 2x^3 - 6x^2 - 12x - 1$ на экстремумы, найдем её производную и определим крити...

Найдем первую производную функции $y$:

$$y = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 12x - 1) = 6x^2 - 12x - 12$$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$$6x^2 - 12x - 12 = 0$$

Упростим уравнение, разделив его на 6:

$$x^2 - 2x - 2 = 0$$

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

где $a = 1, b = -2, c = -2$:

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$

Таким образом, критические точки:

$$x2 = 1 - \sqrt{3}$$

Теперь исследуем знаки производной на интервалах, определяемых критическими точками:

1. $(-\infty, 1 - \sqrt{3})$
2. $(1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$
3. $(1 + \sqrt{3}, +\infty)$

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала $(-\infty, 1 - \sqrt{3})$, например, $x = -2$:

  $$y(-2) = 6(-2)^2 - 12(-2) - 12 = 24 + 24 - 12 = 36 0 \quad (\text{возрастает})$$

• Для интервала $(1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$, например, $x = 1$:

  $$y(1) = 6(1)^2 - 12(1) - 12 = 6 - 12 - 12 = -18 0 \quad (\text{убывает})$$

• Для интервала $(1 + \sqrt{3}, +\infty)$, например, $x = 3$:

  $$y(3) = 6(3)^2 - 12(3) - 12 = 54 - 36 - 12 = 6 0 \quad (\text{возрастает})$$

• Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 1 - \sqrt{3})$ и $(1 + \sqrt{3}, +\infty)$.

• Функция убывает на интервале $(1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.

Теперь найдем значения функции в критических точках, чтобы определить, где находятся максимумы и минимумы.

1. $y(1 - \sqrt{3})$
2. $y(1 + \sqrt{3})$

Подставим $x = 1 - \sqrt{3}$ и $x = 1 + \sqrt{3}$ в исходную функцию:

$$y(1 - \sqrt{3}) = 2(1 - \sqrt{3})^3 - 6(1 - \sqrt{3})^2 - 12(1 - \sqrt{3}) - 1$$

$$y(1 + \sqrt{3}) = 2(1 + \sqrt{3})^3 - 6(1 + \sqrt{3})^2 - 12(1 + \sqrt{3}) - 1$$

Эти вычисления можно произвести, но для схематического построения графика достаточно знать, что:

• В точке $x = 1 - \sqrt{3}$ — локальный максимум.
• В точке $x = 1 + \sqrt{3}$ — локальный минимум.

График функции будет выглядеть следующим образом:

• На интервале $(-\infty, 1 - \sqrt{3})$ функция возрастает.
• На интервале $(1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ функция убывает.
• На интервале $(1 + \sqrt{3}, +\infty)$ функция снова возрастает.

Таким образом, мы исследовали функцию на экстремумы, нашли интервалы возрастания и убывания, а также определили характер критических точек.