y = x ^ 2 + 5x + 4 исследовать функцию и построить график и таблицу По схеме моей : 1. Найти область определения функции 2. Найти образ значения функции Ф в скобочке игрек. 3 найти точки пересечения функции с осями координат. А) c ox, y=0 . б) c o y, x=0

Давайте поэтапно исследуем функцию $y = x^2 + 5x + 4$.

1. Найти область определения функции

Функция $y = x^2 + 5x + 4$ является многочленом, а значит, область определения — все действительные числа:
$
D = \mathbb{R}
$

2. Найти образ значений функции

Чтобы найти образ значений функции, нужно определить её минимум. Для этого найдем координаты вершины параболы. Вершина параболы находится по формуле:
$
x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2}
$
Теперь подставим $x_{верш}$ в функцию, чтобы найти значение $y$:
$
y_{верш} = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) + 4 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 4 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{16}{4} = \frac{-9}{4}
$
Таким образом, образ значений функции:
$
F = \left[-\frac{9}{4}, +\infty\right)
$

3. Найти точки пересечения ...

А) С осью $OX$ (где $y = 0$): $ x^2 + 5x + 4 = 0 $ Решим квадратное уравнение: $ (x + 1)(x + 4) = 0 \Rightarrow x2 = -4 $ Точки пересечения с осью $OX$: $(-1, 0)$ и $(-4, 0)$.

Б) С осью $OY$ (где $x = 0$):

$$y(0) = 0^2 + 5 \cdot 0 + 4 = 4$$

Точка пересечения с осью $OY$: $(0, 4)$.

Проверим четность:

$$y(-x) = (-x)^2 + 5(-x) + 4 = x^2 - 5x + 4$$

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция $y = x^2 + 5x + 4$ не имеет асимптот, так как это полиномиальная функция.

Найдем производную:

$$y = 2x + 5$$

Приравняем к нулю для нахождения критических точек:

$$2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$$

Теперь определим знаки производной:

• Для $x -\frac{5}{2}$: $y 0$ (функция убывает)
• Для $x -\frac{5}{2}$: $y 0$ (функция возрастает)

Таким образом, функция убывает на интервале $(-\infty, -\frac{5}{2})$ и возрастает на интервале $(-\frac{5}{2}, +\infty)$.

В точке $x = -\frac{5}{2}$ находится минимум, так как функция убывает до этой точки и возрастает после.

Найдем вторую производную:

$$y = 2$$

Так как вторая производная положительна, функция выпуклая на всей области определения.

Мы уже нашли ключевые точки:

• Минимум: $\left(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{4}\right)$
• Пересечения с осями: $(-1, 0), (-4, 0), (0, 4)$

Таблица значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x y \\ \hline -4 0 \\ -3 1 \\ -2 0 \\ -1 0 \\ 0 4 \\ -2.5 -2.25 \\ \hline \end{array}$$

График функции будет параболой, открытой вверх, с вершиной в точке $\left(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{4}\right)$ и пересечениями с осями в точках $(-1, 0)$, $(-4, 0)$ и $(0, 4)$.

Теперь вы можете построить график функции, используя полученные данные.