1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:...
Разбор задачи

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды: , б) .

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Теория функций действительного переменного
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды: , б) .

Условие:

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды: sin⁡π3+2sin⁡π9+3sin⁡π27+…\sin \frac{\pi}{3}+2 \sin \frac{\pi}{9}+3 \sin \frac{\pi}{27}+\ldots, б) ∑=1∞(−1)n(n+1)ln⁡(n+1)\sum_{=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) \ln (n+1)}.

Решение:

a) Ряд sin⁡π3+2sin⁡π9+3sin⁡π27+…\sin \frac{\pi}{3}+2 \sin \frac{\pi}{9}+3 \sin \frac{\pi}{27}+\ldots можно записать в виде:

∑n=0∞(n+1)sin⁡(π3⋅3n) \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) \sin \left( \frac{\pi}{3 \cdot 3^n} \right)

Мы можем оценить sin⁡(π3⋅3n)\sin \left( \frac{\pi}{3 \cdot 3^n} \right) для больших nn. Поскольку π3⋅3n\frac{\pi}{3 \cdot 3^n} стремится к нулю, мы можем использовать приближение sin⁡x≈x\sin x \approx x при x→0x \to 0:

sin⁡(π3⋅3n)≈π3⋅3n \sin \left( \frac{\pi}{3 \cdot 3^n} \right) \approx \frac{\pi}{3 \cdot 3^n}

Таким образом, ряд можно оценить следующим образом:

(n+1)sin⁡(π3⋅3n)≈(n+1)⋅π3⋅3n (n+1) \sin \left( \frac{\pi}{3 \cdot 3^n} \right) \approx (n+1) \cdot \frac{\pi}{3 \cdot 3^n}

Теперь рассмотрим ряд:

∑n=0∞(n+1)⋅π3⋅3n \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) \cdot \frac{\pi}{3 \cdot 3^n}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой критерий используется для определения сходимости знакопеременного ряда, если его члены по модулю монотонно убывают к нулю?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я