Исследуем на совместность в зависимости от значений параметров и систему уравнений , где .

Добавлена: 12.05.2026
Обновлена: 12.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Исследуем на совместность в зависимости от значений параметров и систему уравнений , где .

Условие:

Исследуем на совместность в зависимости от значений параметров $\alpha$ и $\beta$ систему уравнений $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ , где $\mathrm{A}_{4 \times 3}, \mathrm{~B}_{4 \times 1}$ . $\mathrm{A}=\left(

\begin{array}{rrr}4 & 2 & 1\\ -3 & 1 & \beta\\ 5 & -1 & 2\\ \alpha & -1 & 2\end{array}

\begin{array}{r}-2\\ 4\\ -6\\ 0\end{array}

Решение:

Для исследования совместности системы уравнений $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$ , где $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B}$ заданы, мы будем использовать метод Гаусса для приведения матрицы к ступенчатому виду и анализа ранга.

Запишем матрицу $\mathrm{A}$ и расширенную матрицу $\mathrm{A|B}$ : $ \mathrm{A} =

\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & \beta \\ 5 & -1 & 2 \\ \alpha & -1 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}

Расширенная матрица будет:

\mathrm{A|B} =

\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & | & -2 \\ -3 & 1 & \beta & | & 4 \\ 5 & -1 & 2 & | & -6 \\ \alpha & -1 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}

Приведем матрицу $\mathrm{A}$ к ступенчатому виду. Начнем с первой строки. Для этого мы можем использовать первую строку для обнуления элементов под первым элементом.

Умножим первую строку на $\frac{1}{4}$ и добавим к остальным строкам:
$R_2 \leftarrow R_2 + \frac{3}{4}R_1 \\ R_3 \leftarrow R_3 - \frac{5}{4}R_1 \\ R_4 \leftarrow R_4 - \frac{\alpha}{4}R_1$
...