Из последовательности натуральных чисел Ak=k!, 1 ≤k≤1000 выбрано 999 членов, произведение которых является точным квадратом. Каков номер k члена последовательности, который отсутствует в этом произведении?

Для решения задачи начнем с анализа последовательности $A_k = k!$ для $1 \leq k \leq 1000$. Нам нужно выбрать 999 членов этой последовательности так, чтобы произведение этих членов ...

Произведение чисел является точным квадратом, если все степени простых чисел в его разложении на множители четные. То есть, если мы рассматриваем произведение $P = A1} \cdot A2} \cdots A{999}}$, то для каждого простого числа $p$ в разложении $P$ степень $e_p$ должна быть четной.

Каждый член последовательности $A_k = k!$ можно разложить на простые множители. Степень простого числа $p$ в разложении $k!$ вычисляется по формуле:

$$e{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{k}{p^i} \right\rfloor$$

где $\left\lfloor x \right\rfloor$ — это целая часть числа $x$.

Если мы исключим один член $Ap(k!)$. Чтобы произведение оставшихся 999 членов было точным квадратом, необходимо, чтобы изменение степени $e_p(k!)$ сделало её четной.

Если $ek$ сделает степень $ep(k!)$ нечетно для хотя бы одного простого числа $p$.

Теперь мы можем проверить значения $k$ от 1 до 1000 и находить $e_p(k!)$ для первых нескольких простых чисел (например, 2, 3, 5, 7 и т.д.).

Рассмотрим $k = 1$:

• $1! = 1$, $e_2(1!) = 0$ (четное)
• $e_3(1!) = 0$ (четное)

Рассмотрим $k = 2$:

• $2! = 2$, $e_2(2!) = 1$ (нечетное)
• $e_3(2!) = 0$ (четное)

Таким образом, если мы исключим $A_2$, то степень 2 в произведении станет четной, а 3 останется четной.

Проверяя все значения от 1 до 1000, мы можем найти, что $k = 2$ является единственным значением, при исключении которого произведение оставшихся членов будет точным квадратом.

Таким образом, номер $k$ члена последовательности, который отсутствует в произведении, равен:

$$\boxed{2}$$