Известно, что - производная некоторой функции Найти значение выражения при условии, что первообразная не имеет свободных слагаемых (т.е. констант).

Условие:

Известно, что $g(x)=\frac{1}{\sqrt{4 x+2}-\sqrt{4 x-2}}$ - производная некоторой функции $f(x)$

Найти значение выражения $12 f(1 / 2)$ при условии, что первообразная $g(x)$ не имеет свободных слагаемых (т.е. констант).

Для начала, нам нужно найти первообразную функции $g(x) = \frac{1}{\sqrt{4x+2} - \sqrt{4x-2}}$ .

Упростим $g(x)$ . Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: $g(x) = \frac{\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x-2}}{(\sqrt{4x+2} - \sqrt{4x-2})(\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x-2})}$ .
В знаменателе у нас получится: $(\sqrt{4x+2})^2 - (\sqrt{4x-2})^2 = (4x+2) - (4x-2) = 4$ . Таким образом, $g(x) = \frac{\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x-2}}{4}$ .
Теперь у нас есть: $g(x) = \frac{1}{4} (\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x-2})$ .
Теперь найдем первообразную $g(x)$ : $f(x) = \int g(x) \, dx = \frac{1}{4} \int (\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x-2}) \, dx$ ...