Как выбирается вектор hk в формуле xk+1=xk+αkhk, αk∈R, k=0,1,2,… для метода сопряженных направлений нулевого порядка?

6 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

Как выбирается вектор hk
в формуле xk+1=xk+αkhk,αk∈R,k=0,1,2,…
для метода сопряженных направлений нулевого порядка?

Выберите один ответ:

a.
⟨f′(xk),hk⟩<0

b.
hk=−f′(xk)

c.
hk=tn(k)−t0(k)
,

где t0(k)=xk
, p0(0)
, p1(0)
, ..., pn−1(0)
- известные векторы, а tn(k)
определяется из последовательного решения задач

f(tj+1(k))=minα∈Rf(tj(k)+αpj(k)),j=0,1,...,n−1

d.
h0=−f′(x0)
, hk=−f′(xk)+βk−1hk−1, k≥1
, где

βk−1=⟨f′(xk),Ahk−1⟩⟨hk−1,Ahk−1⟩

или

βk−1=⟨f′(xk),f′(xk)−f′(xk−1)⟩∥f′(xk−1)∥2=∥f′(xk)∥2∥f′(xk−1)∥2

Решение:

Мы должны выбрать способ формирования направления hₖ для метода сопряжённых направлений нулевого порядка. Рассмотрим, что известно о методе. В методе сопряжённых направлений (zero order) мы не используем аналитическую информацию о градиенте функции f, а лишь значения f(x). Поэтому выбирается последовательность направлений (p₀, p₁, …, pₙ₋₁), которые являются «сопряжёнными» и известны заранее (например, как базис в пространстве, обладающий нужным свойством). Основная идея метода состоит в последовательном решении одноразмерных опт...