Квадратичные формы q{1} и q{2} в некотором базисе задаются формулами: egin{array}{c} q1(x)=2≤ft(ξ1 ight)2-6 ξ1 ξ2+5≤ft(ξ2 ight)2 \ q2(x)=5≤ft(ξ1 ight)2-14 ξ1 ξ2+11≤ft(ξ2 ight)2 end{array} Найти преобразование базиса, которое одновременно приводит

Для решения задачи нам нужно найти преобразование базиса, которое приведет квадратичные формы \( q{1} \) и \( q{2} \) к нужным видам. Начнем с нахождения матриц, соответствующих данн...

Квадратичная форма \( q(x) = \xi^T A \xi \), где \( A \) — симметричная матрица. Для \( q{2} \) мы можем записать их в виде: \[ q_{1}(x) = 2(\xi^{1})^{2} - 6 \xi^{1} \xi^{2} + 5(\xi^{2})^{2} \] \[ q_{2}(x) = 5(\xi^{1})^{2} - 14 \xi^{1} \xi^{2} + 11(\xi^{2})^{2} \] Матрицы \( A2 \) будут следующими: \[ A_1 = \begin{pmatrix} 2 -3 \\ -3 5 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 5 -7 \\ -7 11 \end{pmatrix} \] Для приведения \( q1 \). Решим характеристическое уравнение: \[ \det(A_1 - \lambda I) = 0 \] где \( I \) — единичная матрица. Вычислим: \[ \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda -3 \\ -3 5 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)(5 - \lambda) - 9 = \lambda^2 - 7\lambda + 1 = 0 \] Решим это уравнение: \[ \lambda_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2} \] Собственные значения: \[ \lambda2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \] Теперь найдем собственные векторы для каждого собственного значения. Для \( \lambda_1 \): \[ (A1 I) \mathbf{v} = 0 \] Аналогично для \( \lambda_2 \). Аналогично, найдем собственные значения и собственные векторы для матрицы \( A_2 \): \[ \det(A_2 - \lambda I) = 0 \] \[ \det\begin{pmatrix} 5 - \lambda -7 \\ -7 11 - \lambda \end{pmatrix} = (5 - \lambda)(11 - \lambda) - 49 = \lambda^2 - 16\lambda + 6 = 0 \] Решим это уравнение: \[ \lambda_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 24}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{232}}{2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{58}}{2} = 8 \pm \sqrt{58} \] Пусть \( P \) — матрица, состоящая из нормализованных собственных векторов. Тогда: \[ P^T A1 \quad \text{(канонический вид)} \] \[ P^T A2 \quad \text{(диагональный вид)} \] После всех вычислений, мы получаем: 1. Матрица квадратичной формы \( q_{1} \) в каноническом виде: \[ D_1 = \begin{pmatrix} \lambda_1 0 \\ 0 \lambda_2 \end{pmatrix} \] 2. Матрица квадратичной формы \( q_{2} \) в диагональном виде: \[ D_2 = \begin{pmatrix} 8 + \sqrt{58} 0 \\ 0 8 - \sqrt{58} \end{pmatrix} \] 3. Матрица соответствующего преобразования \( P \). Таким образом, окончательный ответ будет записан в виде: \[ D2, \quad P \] Где \( D2 \) — диагональные матрицы, а \( P \) — матрица преобразования.