Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
Φ≤ft(x{1}, x{2}\right)=4 x{1}2-12 x{1} x{2}+13 x{2}2
к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
Ответы:
Φ{1}≤ft(y{1}, y{2}\right)= · y{1}2+ · y22
y{1}=\square · x{1}+\square · x2
y{2}= · x{1}+\square · x2
Найдем нормальный вид исходной квадратичной формы методом Лагранжа.
Исходная форма имеет вид: Φ(x₁, x₂) = 4x₁² – 12x₁x₂ + 13x₂².
Сгруппируем первые два слагаемых с коэффициентом 4: 4x₁² – 12x₁x₂ = 4(x₁² – 3x₁x₂).
Проведем выделение полного квадрата для выражения в скобках. Заметим, что x₁² – 3x₁x₂ = (x₁ – (3/2)x₂)² – (9/4)x₂². Действительно, (x₁ – (3/2)x₂)² = x₁² – 3x₁x₂ + (9/4)x₂². Отсюда: 4(x₁² – 3x₁...