Минимизировать функцию методами градиентного спуска, наискорейшего спуска, сопряженных градиентов. В качестве пулевой точки взять начало координат, точность е = 10^-3 f(X)=2x2 - x * y + y2 - x - y +1

Для минимизации функции \( f(X) = 2x^2 - xy + y^2 - x - y + 1 \) с использованием методов градиентного спуска, наискорейшего спуска и сопряженны...

Градиент функции \( f(X) \) в точке \( (x, y) \) определяется как вектор частных производных: \[ \nabla f(X) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Вычислим частные производные: 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4x - y - 1 \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1 \) Таким образом, градиент функции: \[ \nabla f(X) = \left( 4x - y - 1, -x + 2y - 1 \right) \] Начальная точка: \( (x0) = (0, 0) \) 1. \[ \nabla f(0, 0) = (4 \cdot 0 - 0 - 1, -0 + 2 \cdot 0 - 1) = (-1, -1) \] Вычисляем шаг: \[ \alpha = 0.1 \quad (\text{выбираем шаг обучения}) \] Обновляем координаты: \[ x0 - \alpha \cdot (-1) = 0 + 0.1 = 0.1 \] \[ y0 - \alpha \cdot (-1) = 0 + 0.1 = 0.1 \] 2. \[ \nabla f(0.1, 0.1) = (4 \cdot 0.1 - 0.1 - 1, -0.1 + 2 \cdot 0.1 - 1) = (-0.4, -0.8) \] Обновляем: \[ x_2 = 0.1 + 0.1 \cdot 0.4 = 0.14 \] \[ y_2 = 0.1 + 0.1 \cdot 0.8 = 0.18 \] 3. до достижения точности \( \epsilon = 10^{-3} \). Для метода наискорейшего спуска необходимо найти оптимальный шаг \( \alpha \) для каждой итерации. Это делается путем минимизации функции вдоль направления градиента. 1. \[ \alpha^* = \arg\min_{\alpha} f(0 + \alpha \cdot (-1), 0 + \alpha \cdot (-1)) \] Подставляем и находим \( \alpha^* \). 2. аналогично предыдущему методу. Метод сопряженных градиентов требует начальной точки и начального направления. Начнем с градиента в начальной точке. 1. \[ d_0 = -\nabla f(0, 0) = (1, 1) \] Находим \( \alpha \) для минимизации вдоль \( d_0 \). 2. и вычисляем новый градиент. 3. с использованием формулы для сопряженных направлений. Каждый из методов требует итераций до тех пор, пока изменение в значении функции не станет меньше \( \epsilon = 10^{-3} \). В результате мы получим минимальные значения функции и соответствующие координаты \( (x, y) \). Для точного выполнения всех шагов и получения конечного результата, необходимо продолжать итерации до достижения заданной точности.