Минимизировать функцию методами градиентного спуска, наискорейшего спуска, сопряженных градиентов. В качестве пулевой точки взять начало координат, точность е = 10^-3 f(X)=2x2 - x * y + y2 - x - y +1

Для минимизации функции $f(X) = 2x^2 - xy + y^2 - x - y + 1$ с использованием методов градиентного спуска, наискорейшего спуска и сопряженны...

Градиент функции $f(X)$ в точке $(x, y)$ определяется как вектор частных производных:

Вычислим частные производные:

1. $\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - y - 1$
2. $\frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1$

Таким образом, градиент функции:

Начальная точка: $(x0) = (0, 0)$

1. $$\nabla f(0, 0) = (4 \cdot 0 - 0 - 1, -0 + 2 \cdot 0 - 1) = (-1, -1)$$

   Вычисляем шаг:

   $$\alpha = 0.1 \quad (\text{выбираем шаг обучения})$$
   Обновляем координаты:
   $$x0 - \alpha \cdot (-1) = 0 + 0.1 = 0.1$$
   $$y0 - \alpha \cdot (-1) = 0 + 0.1 = 0.1$$

2. $$\nabla f(0.1, 0.1) = (4 \cdot 0.1 - 0.1 - 1, -0.1 + 2 \cdot 0.1 - 1) = (-0.4, -0.8)$$

   Обновляем:

   $$x_2 = 0.1 + 0.1 \cdot 0.4 = 0.14$$
   $$y_2 = 0.1 + 0.1 \cdot 0.8 = 0.18$$

3. до достижения точности $\epsilon = 10^{-3}$.

Для метода наискорейшего спуска необходимо найти оптимальный шаг $\alpha$ для каждой итерации. Это делается путем минимизации функции вдоль направления градиента.

1. $$\alpha^* = \arg\min_{\alpha} f(0 + \alpha \cdot (-1), 0 + \alpha \cdot (-1))$$

   Подставляем и находим $\alpha^*$.

2. аналогично предыдущему методу.

Метод сопряженных градиентов требует начальной точки и начального направления. Начнем с градиента в начальной точке.

1. $$d_0 = -\nabla f(0, 0) = (1, 1)$$

   Находим $\alpha$ для минимизации вдоль $d_0$.

2. и вычисляем новый градиент.

3. с использованием формулы для сопряженных направлений.

Каждый из методов требует итераций до тех пор, пока изменение в значении функции не станет меньше $\epsilon = 10^{-3}$. В результате мы получим минимальные значения функции и соответствующие координаты $(x, y)$.

Для точного выполнения всех шагов и получения конечного результата, необходимо продолжать итерации до достижения заданной точности.