∑ₙ₌₁^∞ ((-1)^(n+1))/(np), где p - любое положительно число, доказать что лежит между 1/2 и 1

Давайте рассмотрим ряд \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p} \), где \( p \) - любое положительное число. Мы хотим дока...

Ряд является альтернативным, так как его члены чередуются по знаку. Мы можем применить тест Лейбница для проверки сходимости. Для этого необходимо проверить два условия: 1. Члены ряда \( a_n = \frac{1}{n^p} \) должны быть положительными. 2. Последовательность \( a_n \) должна быть убывающей и стремиться к нулю при \( n \to \infty \). Поскольку \( p 0 \), \( an \) убывает, так как \( n^p \) возрастает с увеличением \( n \), и \( \limn = 0 \). Таким образом, ряд сходится. Теперь мы знаем, что ряд сходится. Для оценки суммы \( S \) можно использовать свойства ряда. Рассмотрим частичную сумму \( S{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p} \). По свойствам альтернативных рядов, мы знаем, что: \[ SN + \frac{1}{(N+1)^p} \] Для \( N = 1 \): \[ S_1 = 1 \] Таким образом, \( S \leq 1 \). Теперь оценим нижнюю границу. Для этого рассмотрим: \[ S_N = \frac{1}{1^p} - \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} - \frac{1}{4^p} + \ldots + \frac{(-1)^{N+1}}{N^p} \] Для \( N = 2 \): \[ S_2 = 1 - \frac{1}{2^p} \] Таким образом, \( S \geq S_2 = 1 - \frac{1}{2^p} \). Для \( p = 1 \): \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2) \] Значение \( \ln(2) \approx 0.693 \), что больше \( \frac{1}{2} \) и меньше \( 1 \). Для \( p 1 \): \[ S \geq 1 - \frac{1}{2^p} \] При \( p \to \infty \), \( S \) стремится к \( 1 \). При \( p = 1 \), \( S \) равно \( \ln(2) \), а для \( p = 2 \): \[ S \approx 0.826 \] Таким образом, для любого положительного \( p \): \[ \frac{1}{2} S 1 \] Мы доказали, что сумма ряда \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p} \) лежит между \( \frac{1}{2} \) и \( 1 \).