∑_{n=1}^∞ ((-1)^(n+1))/(n^p), где p - любое положительное число. Доказать, что сумма ряда лежит между 1/2 и 1.

Давайте рассмотрим ряд \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p} \), где \( p \) - любое положительное число. Мы хотим доказать, что \( S \) лежит между \( \frac{1}{2} \) и \( 1 \). ### Шаг 1: Применение теста на сходимость Ряд является альтернативным, так как его члены чередуются по знаку. Мы можем применить тест Лейбница для проверки сходимости. Для этого необходимо проверить два условия: 1. Члены ряда \( a_n = \frac{1}{n^p} \) должны быть положительными. 2. Последовательность \( a_n \) должна быть убывающей и стремиться к нулю при \( n \to \infty \). Поскольку \( p 0 \), \( a_n...