На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула ((x ∈ A) → (x2 ≤ 81)) ∧ ((y2 ≤ 36) → (y ∈ A)) тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория множеств и логика
#Математическая логика

Условие:

На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула

((x ∈ A) → (x2 ≤ 81)) ∧ ((y2 ≤ 36) → (y ∈ A))

тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?

Решение:

1. Дано

На числовой прямой задан отрезок $A$ . Формула, которая тождественно истинна (всегда верна) для любых вещественных $x$ и $y$ :

\left((x \in A) \rightarrow (x^2 \leq 81)\right) \land \left((y^2 \leq 36) \rightarrow (y \in A)\right)

2. Найти

Наибольшую возможную длину отрезка $A$ .

3. Решение

Поскольку конъюнкция (логическое "И", $\land$ ) двух утверждений тождественно истинна, это означает, что каждое из этих утверждений должно быть истинным.

Пусть $P_1$ — первое утверждение, а $P_2$ — второе утверждение: