На доске написано n чисел: 1, 2, ..., n. За одну операцию можно выбрать два разных числа a и b таких, что (a + b)/2 чётно, стереть их и написать . Сколько таких натуральных n из диапазона [2, 100], при которых возможно оставить на доске единственное

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся с условиями операции. Мы можем стереть два числа $a$ и $b$, если их среднее значение $(a + b)/2$ четно. Это условие выполняется, если оба числа $a$ и $b$ либо четные, либо нечетные.

Теперь давайте проанализируем, сколько четных и нечетн...

• Если $n$ четное:

  • Четные: $n/2$
  • Нечетные: $n/2$
  • Мы можем поочередно удалять пары четных и нечетных чисел, пока не останется одно число.

• Если $n$ нечетное:

  • Четные: $(n-1)/2$
  • Нечетные: $(n+1)/2$
  • В этом случае, нечетных чисел больше, чем четных. Мы не сможем удалить все нечетные числа, так как для удаления пары нам нужно, чтобы их количество было четным.

Таким образом, мы можем оставить на доске единственное число только в случае, если $n$ четное.

Теперь найдем количество четных чисел в диапазоне от 2 до 100:

Четные числа в этом диапазоне: $2, 4, 6, \ldots, 100$.

Это арифметическая прогрессия, где:

• Первый член $a_1 = 2$
• Последний член $a_k = 100$
• Разность $d = 2$

Количество четных чисел можно найти по формуле:

$$k = \frac{a1}{d} + 1 = \frac{100 - 2}{2} + 1 = \frac{98}{2} + 1 = 49 + 1 = 50$$

Таким образом, количество натуральных $n$ из диапазона [2, 100], при которых возможно оставить на доске единственное число, равно 50.