На доске написаны 10 различных натуральных чисел, известно что среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел целое число, могут ли быть на доске числа 403 и 2013 одновременно

1. Среднее арифметическое: Если среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел является целым числом, это означает, что сумма этих чисел должна быть кратна 4 и 5 соответственно.

2. Кратность: Поскольку сумма должна быть кратна 4 и 5, она также должна быть кратна наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел. НОК(4, 5) = 20. Таким образом, сумма любых четырех или пяти чисел должна быть кратна

Теперь рассмотрим числа 403 и 2013:

• 403: Найдем его остаток при делении на 20:
  $$403 \div 20 = 20 \quad \text{(целая часть)}$$
  ...