На координатной плоскости построен треугольник АВС такой, что А(-3; 0); В(0; 6); С(5; 0). Из точки В проведена высота ВН. АО – медиана треугольника АВН. Прямая АО пересекает сторону ВС в точке М. А) Найдите координаты точки М. Б) Найдите длину отрезка ОМ.

Для решения задачи, давайте последовательно выполним все пункты.

А) Найдем координаты точки М.

1. Найдем координаты точки Н (основание высоты из точки В на сторону AC):
- Уравнение прямой AC. Для этого найдем угловой коэффициент:
\[
k{AC} = \frac{yC - yA}{xC - x_A} = \frac{0 - 0}{5 - (-3)} = 0
\]
Прямая AC горизонтальная, y = 0.
- Высота BH будет вертикальной, поэтому x координата точки Н равна x координате точки B, то есть 0. Таким образом, H(0; 0).

2. Найдем координаты точки O (середина отрезка AB):
\[
Ox = \frac{xA + x_B}{2} = \frac{-3 + 0}{2} = -1.5
\]
\[
Oy = \frac{yA + y_B}{2} = \frac{0 + 6}{2} = 3
\]
Таким образом, O(-1.5; 3).

3. Найдем ур...: - Угловой коэффициент: \[ kO - yO - x_A} = \frac{3 - 0}{-1.5 - (-3)} = \frac{3}{1.5} = 2 \] - Уравнение прямой AO: \[ y - 0 = 2(x + 3) \implies y = 2x + 6 \] 4. : - Угловой коэффициент: \[ kC - yC - x_B} = \frac{0 - 6}{5 - 0} = -\frac{6}{5} \] - Уравнение прямой BC: \[ y - 6 = -\frac{6}{5}(x - 0) \implies y = -\frac{6}{5}x + 6 \] 5. (точка M): - Приравняем уравнения: \[ 2x + 6 = -\frac{6}{5}x + 6 \] Упростим: \[ 2x = -\frac{6}{5}x \implies 2x + \frac{6}{5}x = 0 \implies \left(2 + \frac{6}{5}\right)x = 0 \] \[ \frac{10}{5}x + \frac{6}{5}x = 0 \implies \frac{16}{5}x = 0 \implies x = 0 \] - Подставим x = 0 в одно из уравнений, например, в уравнение AO: \[ y = 2(0) + 6 = 6 \] - Таким образом, точка M(0; 6). 1. : O(-1.5; 3) 2. : M(0; 6) 3. : \[ OM = \sqrt{(xO)^2 + (yO)^2} = \sqrt{(0 - (-1.5))^2 + (6 - 3)^2} \] \[ = \sqrt{(1.5)^2 + (3)^2} = \sqrt{2.25 + 9} = \sqrt{11.25} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \] 1. : \[ SB(yM) + xM - yM(yO)| \] Подставим координаты: \[ S_{BOM} = \frac{1}{2} \cdot |0(3 - 6) + (-1.5)(6 - 6) + 0(6 - 3)| = \frac{1}{2} \cdot |0| = 0 \] 2. : \[ SA(yH) + xH - yH(yO)| \] Подставим координаты: \[ S_{AON} = \frac{1}{2} \cdot |-3(3 - 0) + (-1.5)(0 - 0) + 0(0 - 3)| = \frac{1}{2} \cdot |-9| = 4.5 \] 3. : \[ \frac{S{AON}} = \frac{0}{4.5} = 0 \] А) Координаты точки M: (0; 6) Б) Длина отрезка OM: \(\frac{3\sqrt{5}}{2}\) В) Отношение площадей треугольника ВОМ к треугольнику АОН: 0