Главная
Библиотека
Высшая математика
Найдите интегралы методом подстановки: ∫ cos(2x - 3) dx; ∫ (5x - 4)⁵ dx; ∫ (x² + 5)⁴ x dx; ∫ sin(½x - 3) dx; ∫...

Найдите интегралы методом подстановки: ∫ cos(2x - 3) dx; ∫ (5x - 4)⁵ dx; ∫ (x² + 5)⁴ x dx; ∫ sin(½x - 3) dx; ∫ e^(x/2 + 3) dx; ∫ x dx / (x² + 1); ∫ dx / (3x + 7); ∫ x² dx / (2 - x³)²

«Найдите интегралы методом подстановки: ∫ cos(2x - 3) dx; ∫ (5x - 4)⁵ dx; ∫ (x² + 5)⁴ x dx; ∫ sin(½x - 3) dx; ∫ e^(x/2 + 3) dx; ∫ x dx / (x² + 1); ∫ dx / (3x + 7); ∫ x² dx / (2 - x³)²»

18 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

Найтн ннтегралы методом подстановкн:
\[
\begin{array}{ll}
\int \cos (2 x-3) d x ; & \int(5 x-4)^{5} d x \\
\int\left(x^{2}+5\right)^{4} x d x ; & \int \sin \left(\frac{1}{2} x-3\right) d x \\
\int e^{\frac{x}{2}+3} d x ; & \int \frac{x d x}{x^{2}+1} \\
\int \frac{d x}{3 x+7} ; & \int \frac{x^{2} d x}{\left(2-x^{3}\right)^{2}}
\end{array}
\]

Решение:

Решим интегралы методом подстановки по очереди. 1. **Интеграл** \(\int \cos (2x - 3) \, dx\) Подставим \(u = 2x - 3\), тогда \(du = 2 \, dx\) или \(dx = \frac{du}{2}\). Интеграл становится: \[ \int \cos(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(2x - 3) + C \] 2. **Интеграл** \(\int (5x - 4)^{5} \, dx\) Подставим \(u = 5x - 4\), тогда \(du = 5 \, dx\) или \(dx = \frac{du}{5}\). Интеграл становится: \[ \int u^{5} \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{6}}{6} + C = \frac{1}{30} (5x - 4)^{6} + C ...