Найтн ннтегралы методом подстановкн: [ egin{array}{ll} int cos (2 x-3) d x ; & int(5 x-4)^{5} d x \ intleft(x^{2}+5 ight)^{4} x d x ; & int sin left( rac{1}{2} x-3 ight) d x \ int e^{ rac{x}{2}+3} d x ; & int rac{x d x}{x^{2}+1} \ int rac{d x}{3 x+7} ; &

18 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

Найтн ннтегралы методом подстановкн:
\[
\begin{array}{ll}
\int \cos (2 x-3) d x ; & \int(5 x-4)^{5} d x \\
\int\left(x^{2}+5\right)^{4} x d x ; & \int \sin \left(\frac{1}{2} x-3\right) d x \\
\int e^{\frac{x}{2}+3} d x ; & \int \frac{x d x}{x^{2}+1} \\
\int \frac{d x}{3 x+7} ; & \int \frac{x^{2} d x}{\left(2-x^{3}\right)^{2}}
\end{array}
\]

Решение:

Решим интегралы методом подстановки по очереди. 1. Интеграл \(\int \cos (2x - 3) \, dx\) Подставим \(u = 2x - 3\), тогда \(du = 2 \, dx\) или \(dx = \frac{du}{2}\). Интеграл становится: \[ \int \cos(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(2x - 3) + C \] 2. Интеграл \(\int (5x - 4)^{5} \, dx\) Подставим \(u = 5x - 4\), тогда \(du = 5 \, dx\) или \(dx = \frac{du}{5}\). Интеграл становится: \[ \int u^{5} \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{6}}{6} + C = \frac{1}{30} (5x - 4)^{6} + C \] 3. И...