Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие точками минимума a) f(x)=5+12 x-x3 б) f(x)=9+8 x2-x4 в) f(x)=2 x3+3 x2-4 - дома г) f(x)=1 / 2 x4-x2 - дома

Чтобы найти критические точки функции и определить, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю. 3. Использовать второй производной тест или тест ...

\[ f(x) = 12 - 3x^2 \] Приравняем производную к нулю: \[ 12 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). Найдем вторую производную: \[ f(x) = -6x \] Теперь подставим критические точки: - Для \( x = 2 \): \[ f(2) = -6 \cdot 2 = -12 0 \quad (\text{максимум}) \] - Для \( x = -2 \): \[ f(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 0 \quad (\text{минимум}) \] : Точка максимума в \( x = 2 \), точка минимума в \( x = -2 \). --- \[ f(x) = 16x - 4x^3 \] Приравняем производную к нулю: \[ 16x - 4x^3 = 0 \implies 4x(4 - x^2) = 0 \] Критические точки: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \). Найдем вторую производную: \[ f(x) = 16 - 12x^2 \] Теперь подставим критические точки: - Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 16 0 \quad (\text{минимум}) \] - Для \( x = 2 \): \[ f(2) = 16 - 12 \cdot 4 = -32 0 \quad (\text{максимум}) \] - Для \( x = -2 \): \[ f(-2) = 16 - 12 \cdot 4 = -32 0 \quad (\text{максимум}) \] : Точка минимума в \( x = 0 \), точки максимума в \( x = 2 \) и \( x = -2 \). --- \[ f(x) = 6x^2 + 6x \] Приравняем производную к нулю: \[ 6x(x + 1) = 0 \] Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -1 \). Найдем вторую производную: \[ f(x) = 12x + 6 \] Теперь подставим критические точки: - Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 6 0 \quad (\text{минимум}) \] - Для \( x = -1 \): \[ f(-1) = 12 \cdot (-1) + 6 = -6 0 \quad (\text{максимум}) \] : Точка минимума в \( x = 0 \), точка максимума в \( x = -1 \). --- \[ f(x) = 2x^3 - 2x \] Приравняем производную к нулю: \[ 2x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, x = 1, x = -1 \] Критические точки: \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \). Найдем вторую производную: \[ f(x) = 6x^2 - 2 \] Теперь подставим критические точки: - Для \( x = 0 \): \[ f(0) = -2 0 \quad (\text{максимум}) \] - Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 6 \cdot 1^2 - 2 = 4 0 \quad (\text{минимум}) \] - Для \( x = -1 \): \[ f(-1) = 6 \cdot 1 - 2 = 4 0 \quad (\text{минимум}) \] : Точка максимума в \( x = 0 \), точки минимума в \( x = 1 \) и \( x = -1 \). --- Теперь у нас есть ответы для всех функций.