Найдите матрицу оператора , если оператор задан своей матрицей в стандартном базисе

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

Условие:

Найдите матрицу оператора $f(\varphi)=e^{0.5 \varphi}$ , если оператор $\varphi \in \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^{4}, \mathbb{R}^{4}\right)$ задан своей матрицей в стандартном базисе $ A_{\varphi}=\left(

\begin{array}{cccc} 2 & -3 & -1 & 3 \\ -3 & -2 & -3 & 2 \\ 6 & 12 & 10 & -5 \\ 1 & 3 & 2 & 3 \end{array}

Решение:

Мы покажем, как можно получить матрицу оператора
f(φ) = e^(0.5 φ)
в том случае, если φ задан оператором с матрицей A в стандартном базисе,

A = [ [2   -3   -1   3],
[–3 –2   -3   2],
[6   12 10 –5],
[1    3    2   3] ].

Общая идея состоит в том, что для любого оператора A функция exp(0.5A) определяется как

exp(0.5A) = I + (0.5A) + 1/2! (0.5A)^2 + 1/3! (0.5A)^3 + …
= Σₖ₌₀^∞ (0.5A)^k/k!.

Ниже приведён поэтапный план рассуждений.

───────────────────...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений корректно описывает метод вычисления матрицы оператора $f(\varphi) = e^{0.5\varphi}$ по заданной матрице $A_\varphi$ оператора $\varphi$?

Матрица $e^{0.5\varphi}$ вычисляется путём возведения каждого элемента матрицы $A_\varphi$ в степень $e^{0.5}$ .

Матрица $e^{0.5\varphi}$ определяется как сумма бесконечного ряда $I + 0.5A_\varphi + \frac{(0.5A_\varphi)^2}{2!} + \frac{(0.5A_\varphi)^3}{3!} + \dots$ , где $I$ — единичная матрица.