Условие:
найди наибольшее и наименьшее значение функции в области D z=y(6-6x+2xy) D: y=x y=-1 x=2
Решение:
Рассмотрим функцию z = y(6 – 6x + 2xy) при условии, что область D ограничена прямыми y = x, y = –1 и x = 2.
Шаг 1. Определим область. Найдём точки пересечения:
- y = x и x = 2 дают точку (2, 2).
- y = –1 и x = 2 дают точку (2, –1).
- y = x и y = –1 дают точку (–1, –1). Таким образом, область D – это треугольник с вершинами A(–1, –1), B(2, –1) и C(2, 2).
Шаг 2. Найдём критические точки внутри области. Запишем функцию в виде: z = 6y – 6xy + 2x·y². Найдём частные производные:
∂z/∂x = –6y + 2y² = 2y(y – 3). ∂z/∂y = 6 – 6x + 4xy.
Приравниваем ∂z/∂x = 0: 2y(y – 3) = 0, откуда y = 0 или y = 3....