Найдите наибольшее значение n, при котором отношение (n+1)-ой производной функции arctg x в точке x₀=1 к n-ой производной функции arctg x в точке x₀=1 равно (-1001).

Для решения задачи найдем производные функции \( \operatorname{arctg} x \) и их значения в точке \( x_0 = 1 \). 1. Первая производная функции \( \operatorname{arctg} x \): \[ f(x) = \frac{1}{1+x^2} \] В точке \( x_0 = 1 \): \[ f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} \] 2. Вторая производная: \[ f(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \] В точке \( x_0 = 1 \): \[ f(1) = -\frac{2 \cdot 1}{(1+1^2)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \] 3. Третья производная: \[ f(x) = -\frac{2(1+x^2)^2 - 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = -\frac{2(1+x^2)^2 - 8x^2}{(1+x^2)^4...