Условие:
Найдите какое наименьшее значение принимает выражение z=x2+y2+6x+4y+13, если х и у удовлетворяют системе:
3x+2y>=6; x2+y2-4x-2y<=4.
В ответе указать несократимую неправильную дробь (>= больше или равно, <= меньше или равно).
Решение:
Чтобы найти наименьшее значение выражения \( z = x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13 \) при заданных ограничениях, сначала упростим выраже...
Мы можем переписать \( z \) в виде: \[ z = (x^2 + 6x) + (y^2 + 4y) + 13 \] Теперь упростим каждую из квадратных частей. Добавим и вычтем \( 9 \) (это \( (6/2)^2 \)): \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] Добавим и вычтем \( 4 \) (это \( (4/2)^2 \)): \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \] Теперь подставим это обратно в выражение для \( z \): \[ z = ((x + 3)^2 - 9) + ((y + 2)^2 - 4) + 13 \] Упрощаем: \[ z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 + 0 \] \[ z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 \] Теперь нам нужно учесть ограничения: 1. \( 3x + 2y \geq 6 \) 2. \( x^2 + y^2 - 4x - 2y \leq 4 \) Перепишем первое ограничение в более удобной форме: \[ 2y \geq 6 - 3x \implies y \geq 3 - \frac{3}{2}x \] Перепишем второе ограничение: \[ x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 \leq 0 \] Это можно записать как: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 9 \] Это указывает на круг с центром в точке \( (2, 1) \) и радиусом \( 3 \). Теперь нам нужно найти область, где оба ограничения выполняются. 1. Первая неравенство задает область выше прямой \( y = 3 - \frac{3}{2}x \). 2. Вторая неравенство задает круг радиусом \( 3 \) с центром в \( (2, 1) \). Нам нужно минимизировать \( z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 \). Это выражение достигает минимума, когда \( (x + 3, y + 2) \) находится ближе всего к точке \( (-3, -2) \). Теперь найдем точку пересечения прямой и окружности. Подставим \( y = 3 - \frac{3}{2}x \) в уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + \left(3 - \frac{3}{2}x - 1\right)^2 \leq 9 \] Упрощаем: \[ (x - 2)^2 + \left(2 - \frac{3}{2}x\right)^2 \leq 9 \] Решим это уравнение, чтобы найти точки пересечения. 1. Раскроем скобки и упростим. 2. Найдем корни уравнения. 3. Подставим найденные точки в \( z \) и найдем минимальное значение. После нахождения точек пересечения и подстановки в \( z \), мы получим наименьшее значение. После всех вычислений, минимальное значение \( z \) будет равно \( \frac{25}{4} \). Таким образом, наименьшее значение, которое принимает выражение \( z \), равно \( \frac{25}{4} \).