Найдите объем треугольной пирамиды (в куб.ед.) с вершинами в точках A(1 ;-1 ; 2), B(-5 ; 11 ; 8), C(2 ; 3 ; 1), D(-5 ; 4 ; 4).

Чтобы найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках $A(1, -1, 2)$, $B(-5, 11, 8)$, $C(2, 3, 1)$ и $D(-5, 4, 4)$, мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

где...

Векторы можно найти по координатам точек:

Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве можно найти по формуле:

Вычисляем определитель:

Теперь вычислим каждый из определителей:

1. $\begin{vmatrix} 12 6 \\ 4 -1 \end{vmatrix} = 12 \cdot (-1) - 6 \cdot 4 = -12 - 24 = -36$
2. $\begin{vmatrix} -6 6 \\ 1 -1 \end{vmatrix} = -6 \cdot (-1) - 6 \cdot 1 = 6 - 6 = 0$
3. $\begin{vmatrix} -6 12 \\ 1 4 \end{vmatrix} = -6 \cdot 4 - 12 \cdot 1 = -24 - 12 = -36$

Теперь подставим значения в векторное произведение:

Длина векторного произведения равна:

Площадь треугольника $ABC$ равна половине длины векторного произведения:

Высота $h$ пирамиды — это расстояние от точки $D$ до плоскости, содержащей треугольник $ABC$. Для этого найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$.

Уравнение плоскости можно записать в виде:

где $(A, B, C)$ — нормальный вектор плоскости, который равен $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.

Нормальный вектор:

Подставим точку $A(1, -1, 2)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

Таким образом, уравнение плоскости:

Расстояние от точки $D(x0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

Подставим значения:

Теперь можем найти объем:

Таким образом, объем треугольной пирамиды равен: