Найдите общее решение и решение задачи Коши для ОДУ (с разделяющимися переменными, с однородной правой частью, или сводящееся к ним):

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Найдите общее решение и решение задачи Коши для ОДУ (с разделяющимися переменными, с однородной правой частью, или сводящееся к ним):

x^{2}\left(y^{\prime}+1\right)=y^{2}+x y, \quad y(2)=-6

Решение:

x^{2}\left(y^{\prime}+1\right)=y^{2}+x y.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение:

x^{2} y^{\prime} + x^{2} = y^{2} + x y.

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

x^{2} y^{\prime} = y^{2} + x y - x^{2}.

Шаг 2: Разделим переменные

Мы можем записать уравнение в виде:

y^{\prime} = \frac{y^{2} + x y - x^{2}}{x^{2}}.

Теперь разделим переменные. У нас получится:

\frac{dy}{y^{2} + x y - x^{2}} = \frac{dx}{x^{2}}.

Шаг 3: Интегрируем обе стороны

Теперь интегрируем обе стороны. Начнем с правой части:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое преобразование необходимо выполнить для данного дифференциального уравнения $x^{2}(y'+1)=y^{2}+xy$, чтобы привести его к виду, удобному для решения методом разделения переменных или как однородное уравнение?

Разделить обе части уравнения на $x^2$ и выразить $y'$ .