Найдите площадь полной поверхности и объем усеченного конуса, если он образован вращением прямоугольной трапеции с оспованиями 9 и 14 см вокруг меньшей боковой стороны, равной 12 см.

Чтобы найти площадь полной поверхности и объем усеченного конуса, образованного вращением прямоугольной трапеции, след...

Дано:

• Меньшее основание трапеции (a) = 9 см
• Большое основание трапеции (b) = 14 см
• Высота трапеции (h) = 12 см

При вращении трапеции вокруг меньшей боковой стороны (высоты) получаем усеченный конус. Радиусы оснований будут равны:

• Радиус меньшего основания (R1) = 9 см
• Радиус большего основания (R2) = 14 см

Образующая (l) усеченного конуса может быть найдена с помощью теоремы Пифагора. Мы знаем высоту (h) и разницу радиусов оснований:

• Разница радиусов = R2 - R1 = 14 см - 9 см = 5 см

Теперь находим образующую:

$$l = \sqrt{h^2 + (R2 - R1)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Формула для объема усеченного конуса:

$$V = \frac{1}{3} \pi h (R1^2 + R1 \cdot R2 + R2^2)$$

Подставим значения:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot (9^2 + 9 \cdot 14 + 14^2)$$

$$= \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot (81 + 126 + 196)$$

$$= \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot 403$$

$$= 4 \pi \cdot 403$$

$$= 1612 \pi \text{ см}^3$$

Формула для площади полной поверхности усеченного конуса:

$$S = \pi (R1^2 + R2^2) + \pi (R1 + R2) l$$

Подставим значения:

$$S = \pi (9^2 + 14^2) + \pi (9 + 14) \cdot 13$$

$$= \pi (81 + 196) + \pi \cdot 23 \cdot 13$$

$$= \pi \cdot 277 + \pi \cdot 299$$

$$= \pi (277 + 299)$$

$$= \pi \cdot 576$$

Таким образом, площадь полной поверхности усеченного конуса:

$$S = 576 \pi \text{ см}^2$$

Объем усеченного конуса:

$$V = 1612 \pi \text{ см}^3$$