Задача 4. Найдите решение системы линейных уравнений ( A x=b ) порядка ( N=1000 ), используя итерационные методы. ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ. 1. Измените матрицу из задачи 3 , прибавив к каждому элементу ее главной диагонали удвоенный номер варианта.

24 октября 2025
Высшая математика

Условие:

Задача 4. Найдите решение системы линейных уравнений \( A x=b \) порядка \( N=1000 \), используя итерационные методы.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.
1. Измените матрицу из задачи 3 , прибавив к каждому элементу ее главной диагонали удвоенный номер варианта. Постройте тестовый пример (см. п. 2 задачи 3).
2. Постройте расчетные формулы метода простой итерации с оптимальным параметром: \( x^{(n+1)}=x^{(n)}-\alpha\left(A x^{(n)}-b\right) \), где \( \alpha=\frac{2}{\lambda{\min }+\lambda{\max }} \). Для поиска максимального и минимального собственных чисел матрицы \( \lambda{\min } \) и \( \lambda{\min } \) воспользуйтесь библиотечной функцией numpy.linalg.eigvals().
3. Составьте программу для нахождения корня с заданной точностью методом простой итерации с оптимальным параметром- (предусмотрите возможность подсчета количества итераций).
4. Решите ту же систему методом сопряженных градиентов, используя библиотечную функцию scipy.sparse.linalg.cg(). Сравните результаты работы двух методов.

Решение:

Для решения данной задачи мы будем следовать указанным шагам.

Шаг 1: Изменение матрицы

Предположим, что у нас есть матрица \( A \) из задачи 3. Мы добавим к каждому элементу главной диагонали удвоенный номер варианта. Пусть номер варианта равен \( k \). Тогда мы можем записать:

\[
A_{new}[i][i] = A[i][i] + 2k
\]

Для примера, пусть \( k = 1 \) и матрица \( A \) имеет вид:

\[
A = \begin{pmatrix}
4 1 0 \\
1 3 1 \\
0 1 2
\end{pmatrix}
\]

Тогда новая матрица будет:

\[
A_{new} = \begin{pmatrix}
4 + 2 1 0 \\
1 3 + 2 1 \\
0 1 2 + 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 1 0 \\
1 5 1 \\
0 1 4
\end{pmatrix}
\]

Шаг 2: Расчетные формулы метода простой итерации

Метод простой итерации имеет вид:

\[
x^{(n+1)} = x^{(n)} - \alpha (Ax^{(n)} - b)
\]

где \( \alpha = \frac{2}{\lambda{\min} + \lambda{\max}} \). Для нахождения собственных значений используем:

Теперь мы можем написать программу для нахождения корня с заданной точностью: Теперь решим ту же систему методом сопряженных градиентов: После выполнения обоих методов, мы можем сравнить результаты: Таким образом, мы выполнили все шаги, начиная с изменения матрицы, расчета параметров, написания программ для решения и заканчивая сравнением результатов.