Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A(4;-3;2);B(1;-1;4)и C(3;-3;2)

Для нахождения углов, периметра и площади треугольника, заданного вершинами A(4; -3; 2), B(1; -1; 4) и C(3; -3; ...

Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: \[ d = \sqrt{(x1)^2 + (y1)^2 + (z1)^2} \] \[ AB = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-1 + 3)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \] \[ BC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-3 + 1)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] \[ CA = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-3 + 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (0)^2} = \sqrt{1} = 1 \] Теперь у нас есть длины сторон: - \(AB = \sqrt{17}\) - \(BC = 2\sqrt{3}\) - \(CA = 1\) Периметр \(P\) треугольника равен сумме длин всех сторон: \[ P = AB + BC + CA = \sqrt{17} + 2\sqrt{3} + 1 \] Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона. Сначала найдем полупериметр \(s\): \[ s = \frac{P}{2} = \frac{\sqrt{17} + 2\sqrt{3} + 1}{2} \] Теперь используем формулу Герона: \[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)} \] Подставим значения: \[ S = \sqrt{s \left(s - \sqrt{17}\right) \left(s - 2\sqrt{3}\right) \left(s - 1\right)} \] Для нахождения углов треугольника используем закон косинусов: \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Где \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон, а \(C\) — угол напротив стороны \(c\). \[ \cos A = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot CA} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 1^2 - (\sqrt{17})^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{12 + 1 - 17}{4\sqrt{3}} = \frac{-4}{4\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ A = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] \[ \cos B = \frac{CA^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot CA \cdot AB} = \frac{1^2 + (\sqrt{17})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{17}} = \frac{1 + 17 - 12}{2\sqrt{17}} = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} \] \[ B = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{17}}\right) \] \[ C = 180^\circ - A - B \] - Длины сторон: \(AB = \sqrt{17}\), \(BC = 2\sqrt{3}\), \(CA = 1\) - Периметр: \(P = \sqrt{17} + 2\sqrt{3} + 1\) - Площадь: \(S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)}\) - Углы: \(A = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\), \(B = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{17}}\right)\), \(C = 180^\circ - A - B\)