Найдите все такие значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет единственное решение на отрезке .

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найдите все такие значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет единственное решение на отрезке .

Условие:

Найдите все такие значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

(1-a) \operatorname{ctg}^{2} x+\frac{\operatorname{ctg} x}{\sin x}=a

имеет единственное решение на отрезке

\left[\frac{\pi}{3} ; \pi\right]

Решение:

Решение задачи

1. Дано

Уравнение:

(1-a) \operatorname{ctg}^{2} x+\frac{\operatorname{ctg} x}{\sin x}=a

Отрезок, на котором ищется единственное решение:

x \in \left[\frac{\pi}{3} ; \pi\right]

2. Найти

Все значения параметра $a$ , при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке $\left[\frac{\pi}{3} ; \pi\right]$ .

3. Решение

Шаг 1: Преобразование уравнения

Сначала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества.

Вспомним, что $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ . Тогда $\frac{1}{\sin x} = \frac{\operatorname{ctg} x}{\cos x}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое преобразование тригонометрического уравнения является наиболее целесообразным для упрощения его до алгебраического вида относительно новой переменной?

Выразить все функции через синус и косинус, а затем разделить на $\cos^2 x$ или $\sin^2 x$ .