Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.

Рассмотрим систему уравнений

  ( (y² – x·y + 3x – y – 6)·√(x+2) )⁄√(6–x) = 0
  x + y – a = 0

Перед началом решения обратим внимание на область определения. Подкоренные выражения требуют
  x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ –2
  6 – x > 0 ⇒ x < 6

То есть x принадлежит отрезку [–2, 6).

Чтобы дробь равнялась нулю (при не нулевом знаменателе), достаточно чтобы нулем был один из множителей числителя.

Рассмотрим два случая.

------------------------------------------------
Случай 1. √(x+2) = 0

Это равносильно условию:
  x + 2 = 0 ⇒ x = –2

При x = –2 независимо от y выражение (√(x+2)) равно 0, поэтому первое уравнение выполняется. Подставляем x = –2 во второе:

  –2 + y – a = 0 ⇒ y = a + 2

Таким образом, получаем одно решение:
  x = –2, y = a + 2
Это решение будем называть S1.

------------------------------------------------
Случай 2. √(x+2) ≠ 0

Тогда, так как √(x+2) > 0, чтобы дробь обращалась в 0 необходимо, чтобы нулевым стал второй множитель числителя:

  y² – x·y + 3x – y – 6 = 0

Запишем его как квадратное уравнение относительно y:

  y² – (x + 1)y + (3x – 6) = 0

Найдём дискриминант:
  D = (x+1)² – 4·(3x–6) = x² + 2x + 1 – 12x + 24 = x² – 10x + 25 = (x – 5)²

Производим вычисление корней:
  y = [(x+1) ± |x–5|]...