1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Найдите все значения такие, что верно равенство . Ответ...
Разбор задачи

Найдите все значения такие, что верно равенство . Ответ должен быть обоснован.

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Теория пределов случайных величин
Найдите все значения такие, что верно равенство . Ответ должен быть обоснован.

Условие:

Найдите все значения p>0,p≠ep>0, p \neq e такие, что верно равенство lim⁡n→+∞pn⋅n!nn=0\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{p^{n} \cdot n!}{n^{n}}=0. Ответ должен быть обоснован.

Решение:

Для решения задачи начнем с анализа предела:

lim⁡n→+∞pn⋅n!nn. \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{p^{n} \cdot n!}{n^{n}}.

Мы можем использовать формулу Стирлинга для факториала, которая гласит, что при больших nn:

n!∼2πn(ne)n. n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n.

Подставим это приближение в наш предел:

pn⋅n!nn∼pn⋅2πn(ne)nnn. \frac{p^{n} \cdot n!}{n^{n}} \sim \frac{p^{n} \cdot \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n}{n^{n}}.

Упрощаем выражение:

pn⋅2πn⋅(ne)nnn=pnnn⋅2πn⋅(ne)n=pnen⋅2πn. \frac{p^{n} \cdot \sqrt{2 \pi n} \cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n}{n^{n}} = \frac{p^{n}}{n^{n}} \cdot \sqrt{2 \pi n} \cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n = \frac{p^{n}}{e^n} \cdot \sqrt{2 \pi n}.

Теперь у нас есть:

pnen⋅2πn. \frac{p^{n}}{e^n} \cdot \sqrt{2 \pi n}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для вычисления предела вида $\lim_{n \to \infty} \frac{p^n \cdot n!}{n^n}$?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я