Найдите заряд дуги винтовой линии , если плотность распределения заряда в каждой точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до начала координат (

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальная геометрия

Найдите заряд дуги винтовой линии , если плотность распределения заряда в каждой точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до начала координат (

Условие:

Найдите заряд дуги винтовой линии $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t, 0 \leq t \leq 2 \pi$ , если плотность распределения заряда в каждой точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до начала координат ( $\gamma=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Решение:

Рассмотрим винтовую линию с параметризацией \nx = a cos t, \ny = a sin t, \nz = b t,
при 0 ≤ t ≤ 2π.

Найдём элемент длины дуги ds. Для этого вычислим производные:
dx/dt = –a sin t,
dy/dt = a cos t,
dz/dt = b.

Тогда квадрат ds:
(ds)² = (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² = a² sin²t + a² cos²t + b² = a²(sin²t + cos²t) + b² = a² + b².

Отсюда ds = √(a² + b²) dt – он является постоянной по t.
Плотность заряда дана...